SL(2,R)

SL(2,R) или SL₂(R) — это группа вещественных матриц 2 × 2 с единичным определителем:

${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right):a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ and }}ad-bc=1\right\}.}$

Группа является простой вещественной группой Ли с приложениями в геометрии, топологии, теории представлений и физике.

SL(2,R) действует на комплексную верхнюю полуплоскость^[англ.] дробно-линейными преобразованиями. Действие группы факторизуется на факторгруппу PSL(2,R) (${\displaystyle 2\times 2}$ проективная специальная линейная группа над R). Точнее,

${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} )=\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )/\{{\pm }E\}}$,

где E обозначает ${\displaystyle 2\times 2}$ единичную матрицу. SL(2,R) содержит модулярную группу PSL(2,Z).

Также группа SL(2,R) тесно связана с 2-кратно накрывающей группой^[англ.] Mp(2,R), метаплектической группой^[англ.] (если рассматривать SL(2,R) как симплектическую группу).

Другая связанная группа — ${\displaystyle \mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )}$, группа вещественных ${\displaystyle 2\times 2}$ матриц с определителем ${\displaystyle \pm 1}$. Однако эта группа наиболее часто используется в контексте модулярной группы.